2.2.7 矩阵乘法和行列式的计算

2.2.7 矩阵乘法和行列式的计算

设 A,B 是两个 n 阶矩阵,则 ∣AB∣=∣A∣∣B∣ . 这个结论可以用来简化某些行列式的计算. 方法是将要计算的行列式通过矩阵乘法化为两个容易计算的行列式之积, 再分别计算出两个行列式, 将结果求积就可以了. 下面几个例子告诉我们如何来灵活地应用这种方法.

例 2.48 若 n≥3 ,求证下列矩阵 A 的行列式值等于零:

A=​1+x1​y1​1+x2​y1​⋮1+xn​y1​​1+x1​y2​1+x2​y2​⋮1+xn​y2​​⋯⋯⋯​1+x1​yn​1+x2​yn​⋮1+xn​yn​​​.

证明 从下列分解即可得到结论:

A=​111⋮1​x1​x2​x3​⋮xn​​000⋮0​⋯⋯⋯⋯​000⋮0​​​1y1​0⋮0​1y2​0⋮0​1y3​0⋮0​⋯⋯⋯⋯​1yn​0⋮0​​.

例 2.49 计算下列 n+1 阶矩阵的行列式的值:

A=​(a0​+b0​)n(a1​+b0​)n⋮(an​+b0​)n​(a0​+b1​)n(a1​+b1​)n⋮(an​+b1​)n​⋯⋯⋯​(a0​+bn​)n(a1​+bn​)n⋮(an​+bn​)n​​

证明 将 A 分解为

A=​11⋮1​Cn1​a0​Cn1​a1​⋮Cn1​an​​Cn2​a02​Cn2​a12​⋮Cn2​an2​​⋯⋯⋯​Cnn​a0n​Cnn​a1n​⋮Cnn​ann​​​​b0n​b0n−1​⋮1​b1n​b1n−1​⋮1​b2n​b2n−1​⋮1​⋯⋯⋯​bnn​bnn−1​⋮1​​,

于是

∣A∣=Cn1​Cn2​⋯Cnn​0≤i

例 2.50 设 sk​=x1k​+x2k​+⋯+xnk​(k≥1),s0​=n ,

S=​s0​s1​s2​⋮sn−1​​s1​s2​s3​⋮sn​​s2​s3​s4​⋮sn+1​​⋯⋯⋯⋯​sn−1​sn​sn+1​⋮s2n−2​​​

求 ∣S∣ 的值并证明若 xi​ 是实数,则 ∣S∣≥0 .

证明 设

V=​1x1​x12​⋮x1n−1​​1x2​x22​⋮x2n−1​​1x3​x32​⋮x3n−1​​⋯⋯⋯⋯​1xn​xn2​⋮xnn−1​​​

则 S=VV′ ,因此

∣S∣=∣V∣2=1≤i

例 2.51 计算下列矩阵 A 的行列式的值:

A=​xyzw​y−x−wz​−z−wxy​w−zy−x​​

解 注意到

AA′=​xyzw​y−x−wz​−z−wxy​w−zy−x​​​xy−zw​y−x−w−z​z−wxy​wzy−x​​=​u000​0u00​00u0​000u​​,

其中 u=x2+y2+z2+w2 ,因此

∣A∣2=(x2+y2+z2+w2)4.

在矩阵 A 中令 x=1,y=z=w=0 ,显然 ∣A∣=1 ,故

∣A∣=(x2+y2+z2+w2)2.

例 2.52 计算下列循环矩阵 A 的行列式:

A=​a1​an​an−1​⋮a2​​a2​a1​an​⋮a3​​a3​a2​a1​⋮a4​​⋯⋯⋯⋯​an​an−1​an−2​⋮a1​​​

解 作多项式 f(x)=a1​+a2​x+a3​x2+⋯+an​xn−1 ,令 ε1​,ε2​,⋯,εn​ 是 1 的所有 n 次方根. 又令

V=​1ε1​ε12​⋮ε1n−1​​1ε2​ε22​⋮ε2n−1​​1ε3​ε32​⋮ε3n−1​​⋯⋯⋯⋯​1εn​εn2​⋮εnn−1​​​

则

AV=​f(ε1​)ε1​f(ε1​)ε12​f(ε1​)⋮ε1n−1​f(ε1​)​f(ε2​)ε2​f(ε2​)ε22​f(ε2​)⋮ε2n−1​f(ε2​)​f(ε3​)ε3​f(ε3​)ε32​f(ε3​)⋮ε3n−1​f(ε3​)​⋯⋯⋯⋯​f(εn​)εn​f(εn​)εn2​f(εn​)⋮εnn−1​f(εn​)​​.

因此

∣A∣∣V∣=∣AV∣=f(ε1​)f(ε2​)⋯f(εn​)∣V∣.

因为 εi​ 互不相同,所以 ∣V∣=0 ,从而

∣A∣=f(ε1​)f(ε2​)⋯f(εn​).

例 2.53 计算下列矩阵 A 的行列式的值:

A=​cosθcosnθcos(n−1)θ⋮cos2θ​cos2θcosθcosnθ⋮cos3θ​cos3θcos2θcosθ⋮cos4θ​⋯⋯⋯⋯​cosnθcos(n−1)θcos(n−2)θ⋮cosθ​​.

解 由上面的结论可知

∣A∣=f(ε1​)f(ε2​)⋯f(εn​)

其中 f(x)=cosθ+xcos2θ+⋯+xn−1cosnθ . 令

g(x)=sinθ+xsin2θ+⋯+xn−1sinnθ,

则

f(x)+ig(x)=(cosθ+isinθ)+x(cosθ+isinθ)2+⋯+xn−1(cosθ+isinθ)n.

用等比级数求和再比较实部, 得

f(x)=x2+1−2xcosθ(xcosθ−1)[cos(n+1)θ−cosθ]+xn+1sinθ[sin(n+1)θ−sinθ]​.

设 ε1​,ε2​,⋯,εn​ 是 1 的所有 n 次方根,对任意的 εi​ ,经计算并化简,得

f(εi​)=[(cosθ+isinθ)−εi​][(cosθ−isinθ)−εi​][cosθ−cos(n+1)θ]−εi​(1−cosnθ)​.

注意到对任意的 a,b ,有 an−bn=(a−ε1​b)(a−ε2​b)⋯(a−εn​b) ,因此

∣A∣=i=1∏n​f(εi​)=[(cosnθ+isinnθ)−1][(cosnθ−isinnθ)−1][cosθ−cos(n+1)θ]n−(1−cosnθ)n​

=2(1−cosnθ)[cosθ−cos(n+1)θ]n−(1−cosnθ)n​

=2n−2sinn−22nθ​(sinn2(n+2)θ​−sinn2nθ​).□